拉法尔喷管的一些理解（风洞喷管的应用）
喷管基本的概念
- 亚音速下，截面收缩，速度上升（最多到1.0 Ma）
- 超音下，截面扩张，速度上升（超过1.0 Ma）
拉法尔喷管是在工程应用中广泛应用的一种装置，结构形式为收缩-扩张喷管，为的是产生超音速的气流。主要应用有风洞喷管（在风洞内产生需要的试验速度）和发动机喷管（产生所需要的动力）。
下面是本文对拉法尔喷管的一些理解，应用领域为风洞喷管。第一个图是我自己画的丑图，第二个图是课本里面的暂冲式风洞。 本文的模型包含了：
- 拉法尔喷管（产生想要的气流速度）
- 试验段（试验件放置的位置）
- 背压段（出口背压环境，可以是大气，也可以是罐子）
风洞试验的目的
通过拉法尔喷管段产生需要的流速吹向试验段内的试验件，得到试验件在此流速下的气动或其他特性。
书上一直没有说全的利用拉法尔风洞喷管进行试验的后半句
- 试验段内需要保持拉法尔喷管出口的流速
- 进一步对（1）补充：如果是超音试验，那就是试验段内（或者说是试验件进口位置）保持所需要的超音流速，无激波出现
- 试验段出口如果保持和法尔喷管出口的流速一样的速度，那么对进口的总压要求很高，而试验段出口的高流速也不是和发动机喷管一样可以利用，反而都排出，浪费了
- 试验段出口并不一定要保持和法尔喷管出口的流速一样的速度，但需要保持出口Ma>1，不然喷管就无法启动（喷管内无激波/激波在喷管外）
本文分析的假设
为了简化问题，本文的分析也有如下假设：
- 忽略喷管段出口和试验段装配的台阶影响，假设二者是一体的。
- 喷管段出口和试验段的截面面积保持一致
- 试验段内没有放试验件，是个空管。
- 下文如果没有特别地指代，提到的喷管出口，具体指的就是试验段出口
- 忽略流动换热、摩阻的影响
- 假设为理想正激波关系式，忽略总压恢复系数的修正
对拉法尔喷管工况的初步理解
下面是空气动力学书上的拉法尔喷管与背压关系图（只要是正经的空气动力学教科书，都有这个，我截的是北理工-雷娟棉-空气动力学）
开始简单地抄书理解，对于p/p0值,按照从小到大变化的方向进行理解。
另外，拉法尔喷管的设计Ma实例化，取个实际的值1.5。
对于风洞喷管，我们需要关注两个关键状态：②状态和④状态。
②状态指的是拉法尔喷管的设计工况，喷管出口的静压 $p_e$ 、背压 $p_b$ 与拉法尔喷管设计状态的出口静压 $p_d$ 一致。 $p_e=p_b=p_d$
设计工况的计算公式就是简单的静压-总压-马赫数关系式：
$$\frac{p_d}{P_0}=(1+\frac{k-1}{2}Ma^2)^{-\frac{k}{k-1}}$$
显式地说，此时喷管出口的Ma就是1.5, $p_d/ p_0= 0.2724$,可以用NASA的Online计算器。
①工况是当$p_b/P_0$比$p_d/P_0$还要低的状态（$p_b/P_0 < p_d/P_0$），说明喷管出口还没膨胀完全，可以继续膨胀加速，出口出现膨胀波，出口流速大于Ma 1.5，不符合一般风洞喷管的应用目的。
④工况是一个临界工况 $p_b/P_0=p^*/P_0$，是一个临界在这个工况下，恰好在喷管出口Ma=1.0并出现一道正激波，这时候可以简单地应用正激波-前后的关系式, 假设正激波前状态为1，正激波后状态为2，关系式如下($p_1$, $p_2$ 是静压）：
$$p_2/p_1=\frac{2k}{k+1}Ma_e^2-\frac{k-1}{k+1}$$
也可以查气动书后的表，快速得到,也可以用Vtech的Online计算器。
P.S. 注意，此时是等截面，没有考虑截面面积变化，$p2=f(p1,Ma_e)$ 。实际上，$Ma_e$ 和 $p_1$ 还与截面面积变化相关联，因此截面变化也会影响 $p_2$ ,书上有例题。
那么这个临界压比：
$$\beta_{cr}=\frac{p^*}{P0}=\frac{p_2}{p_1}\times \frac{p_1}{P_0}=\frac{p_2}{p_1}\times\frac{p_d}{P_0}$$
简单地说，利用马赫数的正激波-前后参数的关系式，得到一个正激波前后静压比，乘以拉法尔喷管的设计工况压比，那么就得到了一个理想情况下喷管出口Ma=1.0的临界压比。 当拉法尔喷管设计Ma=1.5时， 激波前后静压比$p_2/p_1= 2.4583$，前文得到的设计压比 $p_d/ p_0= 0.2724$， 综合计算得到临界压比 $\beta_{cr}= 2.4583*0.2724=0.6696$
③工况是介于②状态和④状态，喷管出口马赫数介于1.5和1.0之间，为了能与周围环境压力相匹配，出现的是斜激波。同时由于出口还是超音，改变背压尚无法影响上游。换而言之，喷管内的马赫数还是正常的设计状态，喷管内不会出现正激波。
继续提高背压 $p_b/P_0$（高于 $\beta_{cr}$ ），那么激波就会进入喷管内，通常不符合风洞喷管的使用需求&& 我还没用到，暂时不继续理解III区和IV区了。
因此，在设计压比与临界压比之间，都可以在喷管内得到想要的超音流速。通过这个关系的理解，可以很好地帮助风洞的运行，降低风洞动力的需求。
P.S. 上文提到的例题：
